sexta-feira, 24 de julho de 2009

Introdução à Geometria não-euclideana

Os “Elementos” de Euclides
 Os Elementos de Euclides versam sobre questões introdutórias de matemática geral.
 Os Elementos são compostos por 13 livros contendo 465 proposições. Como antigamente era comum atribuir a autores de sucesso obras que não eram suas, algumas versões dos Elementos apareceram com um décimo quarto e até um décimo quinto livro, mas provou-se que estas obras não pertenciam a Euclides.
 A obra se propõe a deduzir todas as 465 proposições a partir de 10 afirmações iniciais; na verdade são 23 definições, 5 postulados e 5 noções comuns.
Os Postulados de Euclides
 Os gregos faziam distinção entre axioma (por eles também chamado de noção comum) e postulado, segundo (pelo menos) ‘as três vertentes descritas a seguir:
 um axioma é uma afirmação assumida como auto-evidente e um postulado é uma construção de algo assumido como auto-evidente; desta forma relacionamos axiomas e postulados como teoremas e problemas de construção;
 um axioma é uma suposição comum a todas as ciências; um postulado é uma suposição particular e peculiar da ciência em estudo;
 um axioma é uma suposição de algo que é ao mesmo tempo óbvio e aceitável para o aprendiz; postulado ´e uma suposição que não é necessariamente nem óbvia e nem aceitável para o aprendiz.


 Assim podemos admitir que Axiomas devem ser aceitos sem a necessidade provas e Postulados são aceitos por serem resultados de comprovações relativamente simples.
 Assim, os quatro primeiros postulados de Euclides são:
• Ponto é uma grandeza adimensional;
• Reta é uma sucessão infinita de pontos;
• Por um ponto passam infinitas retas;
• Por dois pontos passam uma única reta;
• Linhas retas paralelas são linhas retas que, cortadas por uma transversal, formam com esta ângulos internos de 90º, e se prolongam em suas extremidades se encontrando no infinito.
Geometrias Não-Euclidianas
 No início do século 19 ainda não estava claro se o Quinto Postulado tinha validade absoluta ou se podia ser desobedecido em geometrias alternativas. Os trabalhos de Saccheri e Bolay eram praticamente ignorados e as idéias de Lobatchevski eram tidas como absurdas por muitos matemáticos. Nessa época, o grande matemático alemão Bernhard Riemann chamou a atenção para uma falha cometida por Euclides, Saccheri e os outros pioneiros. É que eles sempre admitiam, sem contestar, que uma reta tem de ser infinita e ilimitada. Isso é dito no Segundo Postulado de Euclides e significa que, se um cidadão começasse a viajar em linha reta, seguindo a trajetória de um raio de luz, nunca chegaria ao fim da linha, mesmo se fosse eterno. Talvez isso valha apenas para o espaço euclidiano e não seja necessário em outros espaços, sugeriu Riemann. Deixando de lado essa restrição, Riemann mostrou que podia criar uma geometria na qual a soma dos ângulos de um triângulo era MAIOR que 180 graus. Essa geometria corresponde perfeitamente ao caso OBTUSO de Saccheri.

 A GEOMETRIA ELÍPTICA, que tem como caso particular a GEOMETRIA ESFÉRICA, pode ser visualizada pelo ponto de vista dos "chatóides" habitantes de um mundo de duas dimensões restrito à superfície de uma gigantesca esfera. Para esses chatóides, uma "reta", isto é, a menor distância entre dois pontos, deve ser o segmento de um grande círculo que passa pelos pontos e cujo raio é o próprio raio da superfície esférica chamado de “geodésia”
A soma dos Ângulos
 A soma dos ângulos de um triângulo na geometria elíptica é MAIOR que 180 graus. Na figura, a + b + g > 180º.

5º Postulado X Física Moderna
 A Física Newtoniana Clássica tem sua base de análise conceitual a noção de espaço euclidiana, restringindo sua aplicação a noção do “pequeno de mais”- micro universo - e do “grande demais” – macro universo. É com a a divulgação das novas compreensões geométricas trazidas pela análise matemática do quinto postulado que os físicos perceberam que ali estaria a possibilidade de um entendimento das micro partículas (por isso Física de partículas), através da análise da natureza e fenômenos relativos a luz.....

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